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ピタゴラスの愛した 数の世界と音楽の幾何学

ピタゴラスの愛した 数の世界と音楽の幾何学


リクエストが多かったので、またピタゴラス記事 載せてみました。

ピタゴラス
ピタゴラス 【Pythagoras】 前570ころ~前496ころ


「弦の響きには幾何学があり、天空の配置には音楽がある」

有名なピタゴラスの言葉。

紀元前の数学者、ピタゴラスの名前は、中学生以上の人には「ピタゴラスの定理」と呼ばれる「3平方の定理」でよくご存知でしょう。

しかし、ピタゴラスに音楽での業績があることを知らない人の方が多いと思われます。
音楽と数学はきっても切り離せない関係にあるのは、音楽家、数学家でなくともよく知られていることですが。

私は数学は苦手なのですが、 数学に憩える人は きっと世界の美を垣間見ることの出来る人だと信じてきました。
昔からそう言われているし、自分でも心底そう実感することしきりなのです。特にバッハの幾何学的音列なんか数学そのものです。

ピタゴラスは、弦楽が好きな人で、当時の手風立琴をヒントに、2つの音の周波数比が簡単な整数の比になるとき、音が協和することを発見しました。

この日記でピタゴラスの音律と狼音に関する協和性を数学的に解き明かしていたらページが幾つあっても足りないのでここでは省きますが、簡単に言うとその調和とはドとソの関係で、この2つの音は、理想的な完全5度音程です。ヴァイオリンやヴィオラ、チェロ、コントラバスも皆そうなっていますね。弦の長さの比を単に整数比で表しただけですから当然と言えば当然なのですが。(笑)


一枚板のレッドヴァイオリン

Bach:バッハ A-mollコンチェルト BGMにどうぞ♪
http://www.youtube.com/watch?v=wbHVIwSMJrw
David Oistrakh - Bach Violin Concerto in A minor (1st mvt.)


❤美雨もバッハ大好きです。↑↓上のコンチェルトの楽譜❤
美雨楽譜001美雨の懐かしい楽譜002
ほんとに良い曲・・! バッハは単に美しいだけでなく、宇宙的


バッハの肉筆楽譜 幾何学のつづら折りみたいなバッハの音楽
数のふしぎ4バッハの肉筆a


数学的にシンプルなものが美しいと感ずるのは音楽に限ったことではありません。

そ  こ  で

ピタゴラスの定理にまつわる話を、ダイジェストして挙げてみました。

 
<ピタゴラスのいろいろな仕事>

ピタゴラスとその弟子たちは「ピタゴラス学派」と呼ばれ、ピタゴラスの発見といわれているもののうち、どれがピタゴラス自身の発見であるのかはわかっていません。ピタゴラスのおもな仕事には、ピタゴラスの定理のほかに次のようのものがあると考えられています。

(1)奇数、偶数の区別
自然数、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…を、奇数と偶数に分類したのはピタゴラスが最初だといわれています。

(2)三角数と四角数の研究 
(3)完全数の研究
完全数とは、自分自身を除く約数の和に等しい自然数のことです。 たとえば、6の約数は1,2、3,6ですが、
6=1+2+3
のように、自分自身を除く約数の和で表せるので、6は完全数です。
28や496が完全数であることを確かめてみましょう。
(4)ピタゴラスの数の研究

ピタゴラスは(3、4、5)のように、 その関係を満たす自然数について研究し、このような数の組は無限にあることを証明しました。このような数の組は、現在ピタゴラスの数と呼ばれています。 ほかにどのようなピタゴラスの数があるか調べてみましょう。

(5)無理数の発見
一辺の長さが1である正方形の一つの対角線の長さ(√2)は、分子、分母がともに整数であるような分数では表すことのできない数であることを発見しました。

(6)三角形の内角の和
三角形の内角の和が2直角であることを証明したのは、ピタゴラスであるといわれています。

(7)正五角形の作図
正五角形の性質を詳しく調べ、黄金比をもとにして正五角形の作図法を発見しました。

(8)正多角形によるしきつめ 合同な正多角形のタイルで平面をすき間なくしきつめるには、どのような正多角形を使えばよいか研究しました。

(9)正多面体の研究
正多面体の研究を行い、正多面体は5つに限ることを発見したといわれています。


ピタゴラスの定理:Pythagorean theorem
数のふしぎ2ピーター・フランクルさん数のふしぎ1
18歳で国際数学オリンピックで金メダルを獲得、ピーター・フランクル数学博士


ちなみに、正多面体は5種類しかありません。

お友達で数学教師のSさんが詳しく解説して下さった記録を ちょっとお披露目すると、

正多面体は、まずは、1辺の長さが等しい正多角形でなければなりません。つまり、正三角形、正方形、正五角形です。

正六角形以上の正多面体はできないんですね。

どうしてか? 正六角形の2辺の角度が120度だから、1つの頂点を中心に三つ辺同士をつけて並べると360度でくっついてしまい立体にできないからです。

あとの説明は長くなるので省きます。

つまり、一つの頂点に三つ以上並べてくっつかないものを探すと5種類しかないことがわかります。

パズルですね。 時間があったらやってみてください。



・・・とのこと。
ということで、是非やってみましょう!!

ちなみに、(9)の正多面体は、プラトンも著作で言及しています。

「プラトン正多面体は5つしか存在しない」を、昔ですが自力で証明したときは、嬉しくて恍惚としました。(笑)
しかし、とてつもなく神秘感の漂う定理ですネ。

数学者の志賀浩二さんも、この定理の神秘感には惚れ惚れしたと語っています。


数の神 pythago
ピタゴラス 【Pythagoras】  100910


ピタゴラスの素晴らしさはそれだけではありません。

ピタゴラスはこの定理を発見したときに、「自分がこの定理を発見できたのは、決して自分一人の力によるのではない。いつも自分を守ってくださるミューズの神様のおかげである。」と言って、お礼の心を表すために、牛100頭を供え、女神に心からお礼を述べたという伝説が残っています。なんと謙虚で敬虔なこころの持ち主でしょう。ちなみに、ミューズとは学問の神、音楽の神であり、music(音楽:ラテン語でmusica)の語源となった女神です。


音楽と切っても切り離せない数の神秘性。即ち、音楽は聴く数学であり、数学は考える音楽であるからかもしれません。

そんな「数」を礼賛した名言をいくつか記してみます。


「数は森羅万象を支配す。」 ピタゴラス
 
「神は幾何学者である。」 プラトン

「神は 数によって万物を創造した。」 ニュートン

「数学は 真実ばかりか 至高の美をも我が物にする。」 ラッセル

「白髪頭になろうとも 数学者の命が果てることはない なぜなら彼らは
 永遠(無限大)に憂身をやつしているからだ。」  詠み人知らず

 

・・・数学者にいわせると、数理というものは芸術に通じるところがあるらしく、「よい証明は美しく、リズムを感じる」ものだそうです。

数学に憩える人は きっと世界の美を垣間見ることの出来る人ですね。
数学を愛している人は皆そう信じていると思います。




美雨



❤最後まで読んでくれてありがとう❤
数のふしぎ3バッハのおじさん
ポチしてくれるとバッハのおじさん嬉しいなー♪



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